Fondements

Définition

Soit $A$ , un ensemble non vide et fini, on appelle permutation de $A$ toute application bijective de $A$ dans $A$ . On note $S_{A}$ l’ensemble de toutes les permutations de $A.$

Si $A=\{1;2;\cdot\cdot\cdot;n\}$ avec $n \in \mathds{N}^{\star}$ alors l’ensemble $S_{\{1;2;\cdot\cdot\cdot;n\}}$ est noté $\mathcal{S}_{n}$ .

Notation

Un élément $\sigma \in S_{n}$ sera noté de manière matricielle comme suit:

$\sigma = \left(\begin{array}{c}1\\ \sigma(1)\end{array}\begin{array}{c}2\\ \sigma(2)\end{array}\begin{array}{c}3\\\sigma(3)\end{array}\begin{array}{c}\cdot\\\cdot\end{array}\begin{array}{c}\cdot\\\cdot\end{array}\begin{array}{c}\cdot\\\cdot\end{array}\begin{array}{c}n\\\sigma(n)\end{array}\right).$

De même l’application identité sur un ensemble à $n$ éléments est:

$Id_{n} = \left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\begin{array}{c}3\\3\end{array}\begin{array}{c}\cdot\\\cdot\end{array}\begin{array}{c}\cdot\\\cdot\end{array}\begin{array}{c}\cdot\\\cdot\end{array}\begin{array}{c}n\\n\end{array}\right)$

Pour tout entier $n\geq 2$ , on note:

$T_{12}=\left(\begin{array}{ccccccc}1 & 2 & 3 & . & . & . & n \\2 & 1 & 3 & . & . & . & n \\\end{array}\right).$

Ce type de permutation sera formellement défini dans la section suivante.

Théorème

$\mathcal{S}_{n}$ muni de la composition des applications est un groupe.

Démonstration

(I) $\circ$ est une LCI sur $\mathcal{S}_{n}$ (la composée de deux bijections est une bijection).

(N) $Id_{n}$ est l’élément neutre de ( $\mathcal{S}_{n}, \circ$ ).

(S) $f \in \mathcal{S}_{n}$ alors $f$ est bijective i.e $f^{-1}$ , bijection réciproque existe.

(A) $f\circ(g \circ h) = (f \circ g) \circ h$

Définition

( $\mathcal{S}_{n}, \circ$ ) est appelé le groupe symétrique d’ordre n.

Exemple

n = 1 $S_{1} = \{Id_{1}\}$

n = 2 $S_{2} = \{Id_{2}; T_{12}\}$ .

Propriété

P1. $\mid S_{n} \mid = n!$

P2. pour $n\geq 3$ , ( $\mathcal{S}_{n}, \circ$ ) n’est pas abélien.

Démonstration. Soit $n \in \mathds{N}$ \ {0;1;2}. Considérons en plus de $T_{12}$ l’application:

$T_{13} = \left(\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\begin{array}{c}3\\1\end{array}\begin{array}{c}4\\4\end{array}\begin{array}{c}\cdot\\\cdot\end{array}\begin{array}{c}\cdot\\\cdot\end{array}\begin{array}{c}\cdot\\\cdot\end{array}\begin{array}{c}n\\n\end{array}\right)$

Vérifier que $T_{12} \circ T_{13} \neq T_{13} \circ T_{12}$ .