Groupes alternés

Définition:

Soit une permutation $\sigma\in\ \textsl{S}_{n}$ . On dit que le couple $(i,j) \in \{1;2;\cdots;n\}^{2}$ est une inversion de $\sigma$ lorsque $i<j \text{ et } \sigma(i)>\sigma(j)$ . On notera $I(\sigma)$ le nombre d’inversions de $\sigma$ ; $T(\sigma)$ le nombre de transpositions dans sa décomposition en produit de transpositions, $O(\sigma)$ le nombre d’orbites de $\sigma$ .

Définition:

Soit une permutation $\sigma\in \textsl{S}_{n}$ .

On appelle signature de $\sigma$ et on note $\varepsilon(\sigma)$ l’une des quantités égales suivantes:

$\varepsilon(\sigma)=(-1)^{T(\sigma)},$

$\varepsilon(\sigma)=(-1)^{n-O(\sigma)},$

$\varepsilon(\sigma)=(-1)^{I(\sigma)},$

$\varepsilon(\sigma)=\underset{i<j}\prod \frac{\sigma(i)-\sigma(j)}{i-j}.$

La permutation $\sigma$ est dite paire si $\varepsilon(\sigma)=1.$

La permutation $\sigma$ est dite impaire si $\varepsilon(\sigma)=-1.$

Théorème:

l’application
$\begin{array}{rccl}\varepsilon:&(\textsl{S}_{n},\circ)&\rightarrow& (\{-1;1\},\times)\\&\sigma&\mapsto& \varepsilon(\sigma)\end{array}$
est un morphisme de groupe.

Preuve: TD $\box$

Définition:

L’ensemble des permutations paires; il est appelé groupe alterné d’ordre $n$ ; On le note $\mathcal{A}_{n}$ .

Remarque: $\ker(\varepsilon)=\{\sigma\in \textsl{S}_{n}/\varepsilon(\sigma)=1\}=\mathcal{A}_{n}$ .

Proposition:

Si $T$ est une transposition de $\textsl{S}_{n}$ alors l’application $\begin{array}{rccl}\phi:&\mathcal{A}_{n}&\rightarrow& \textsl{S}_{n}/ \mathcal{A}_{n}\\&\sigma&\mapsto& T\circ\sigma\end{array}$ est une bijection.

Proposition:

le cardinal de $\mathcal{A}_{n}$ est $\dfrac{n!}{2}$

Théorème: (Théorème de CAYLEY)

Tout groupe est isomorphe à un groupe de permutation.

Exemple: Pour $\sigma_{1}=\left(\begin{array}{ccccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\4 & 6 & 3 & 5 & 1 & 2 & 7\end{array}\right)$ , trouver la signature en utilisant les différentes formules.

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